Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為的等邊△所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求二面角的大�。�

Answer 1

【答案】（1）能利用已知建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而證明即可。

（2）

【解析】試題分析：（1）證線線垂直可化為證線與面垂直．即證其中的一條線與另一條線所在的面垂直：AM與面PEM垂直．

（2）求二面角的問(wèn)題，關(guān)鍵要牢牢把握定義，本題中容易EM⊥AM，PM⊥AM，利用定義得證，最后放到三角形 中來(lái)算．

試題解析：（1）證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA，

∵△PCD為正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝．

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM平面ABCD，∴PE⊥AM．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，

AM＝，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2．∴AM⊥EM．

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM

（2）解：由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°．∴二面角P－AM－D的大小為45°．