Question

10．已知集合A={x|x²-1＜0}，B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}，是否存在常數(shù)a，使A∪B=A，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)A∪B=A，得到B⊆A，結(jié)合集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵A∪B=A，
∴B⊆A，
∵A={x|x²-1＜0}={x|-1＜x＜1}，B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}，
∴若a=0或a=1，則B=∅，此時(shí)滿足條件B⊆A，
若0＜a＜1，則B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}={x|a²＜x＜a}，
若滿足條件．B⊆A，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1，
若a＞1或a＜0，則B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}={x|a＜x＜a²}，
若滿足條件B⊆A，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{{a}^{2}≤1}\\{a≥-1}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{-1≤a≤1}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜0，
綜上-1≤a≤0或a=1，
即存在常數(shù)a，當(dāng)-1≤a≤0或a=1時(shí)，使A∪B=A．

點(diǎn)評 本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件A∪B=A，得到B⊆A是解決本題的關(guān)鍵．