Question

4．設(shè)在平面上有兩個(gè)向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求證：向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）當(dāng)向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等時(shí)，求α的大�。�

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的模的公式和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）運(yùn)用向量的模的平方即為斜率的平方，展開化簡結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的正弦公式，以及特殊角的正弦值，即可得到所求角．

解答 解：（1）證明：向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$=1，
由（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=1-1=0，
可得向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）當(dāng)向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等時(shí)，
即有（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
即為3$\overrightarrow{a}$²+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3$\overrightarrow$²，
即有2$\overrightarrow{a}$²+4$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=0，
即為2+4$\sqrt{3}$•（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）-2=0，
即有sin（α-30°）=0，
由0°≤α＜180°，可得α-30°=0°，
則α=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)：主要是向量的平方即為模的平方，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查向量模的公式，以及兩角差的正弦公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．