Question

（文）已知函數(shù)f（x）=（sin

3

ωx+cosωx）cosωx-

1

2

（ω＞0）的最小正周期為4π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別是a，b，c滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角公式化簡 f（x）的結(jié)果為sin（2ωx+

π

6

），根據(jù)周期求出ω，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得f（x）的增區(qū)間．
（2）根據(jù)等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA，求出cosB，從而求得 B，得到f（A）=sin（

1

2

•A+

π

6

），
0＜A＜

2π

3

，求出f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=sin

3

ωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），

2π

ω

=4π，∴ω=

1

4

，
∴f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）．
由   2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，得    4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
故f（x）的增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

1

2

•A+

π

6

），0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

1

2

•A+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜f（A）＜1，函數(shù)f（A）的取值范圍為  （

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域，三角公式、正弦定理的應(yīng)用，
根據(jù)角的范圍求三角函數(shù)值的范圍是解題的難點(diǎn)．