Question

求證：當x＞0時，ln(1+x)＞x-

x2

2

．

Answer 1

分析：先利用思想設(shè)f(x)=ln(1+x)-(x-

x2

2

)求其導(dǎo)數(shù)，因為x＞0，所以f'（x）＞o，得出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而有f（x）＞f（0）=0即可證明得結(jié)論．

解答：證明：設(shè)f(x)=ln(1+x)-(x-

x2

2

)，…（2分）
則f′(x)=

1

1+x

-(1-x)=

x2

1+x

…（6分）
因為x＞0，所以f'（x）＞o，即   f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以f（x）＞f（0）=0          …（8分）
即ln(1+x)-(x-

x2

2

)＞0
所以ln(1+x)＞(x-

x2

2

)＞0…（10分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．