Question

設(shè)數(shù)．
（1）求c的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=λa_n+n²+n，若b_n+1＞b_n對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）n≥2時，，，兩式相減化簡可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用b_n=λa_n+n²+n，可將b_n+1＞b_n表示為λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，從而有，由于涉及到，故需進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的最值，從而求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）n=1時，，∴，
n≥2時，，，兩式相減化簡得，由得，
∴a₁=2，∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
（2）∵b_n+1＞b_n，∴λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，∴，∴∵，∴當(dāng)n=1，則要使對一切n∈N^*恒成立，則；
②∵，∴當(dāng)n=2
，則要使對一切n∈N^*恒成立，則λ＞-4
綜上知，．
點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用兩式相減的方法，考查恒成立問題的處理，利用最值法解決，有一定的綜合性．