Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得出，可得出，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由題意可知不等式對(duì)任意的恒成立，令，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）令，得，

設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數(shù)在處取得極大值，即，如下圖所示：

由上圖可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）令，根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立.

又.

①若，對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，，得，此時(shí)；

②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；

③若，對(duì)任意的，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.