【題目】離心率為的橢圓經(jīng)過點，是坐標(biāo)原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，求出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；

（2）存在，理由見解析；圓的方程為；.

【解析】

（1）利用離心率和橢圓所過點聯(lián)立方程組可求橢圓的方程；

（2）先假設(shè)存在符合要求的圓，利用求出圓的切線，結(jié)合弦長公式表示出，利用基本不等式求解范圍.

（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以；

又離心率為，所以，結(jié)合可得，

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且，設(shè)圓的切線方程為，.

聯(lián)立得，

即.

因為，所以，即，

所以，即；

因為圓的切線方程為，所以圓的半徑為，，所求圓的方程為.

由及可得，即或；

當(dāng)圓的切線斜率不存在時，切線方程為，切線與橢圓的交點為或者，均滿足.

綜上可知，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且.

因為

所以

當(dāng)時，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值3；

當(dāng)時，；

當(dāng)斜率不存在時，直線與橢圓交于或者此時.

綜上可知，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖1．

圖1 圖2

（1）記“在年成交的二手車中隨機(jī)選取一輛，該車的使用年限在”為事件，試估計的概率；

（2）根據(jù)該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2，其中(單位：年)表示二手車的使用時間，(單位：萬元)表示相應(yīng)的二手車的平均交易價格．由散點圖看出，可采用作為二手車平均交易價格關(guān)于其使用年限的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中，）：

①根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

②該汽車交易市場對使用8年以內(nèi)(含8年)的二手車收取成交價格的傭金，對使用時間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價格的傭金．在圖1對使用時間的分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值．若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金．

附注：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；

②參考數(shù)據(jù)：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我區(qū)的中小學(xué)辦學(xué)條件在政府的教育督導(dǎo)下，迅速得到改變.督導(dǎo)一年后.分別隨機(jī)抽查了高中（用表示）與初中（用表示）各10所學(xué)校.得到相關(guān)指標(biāo)的綜合評價得分（百分制）的莖葉圖如圖所示.則從莖葉圖可得出正確的信息為（80分及以上為優(yōu)秀）（ ）

①高中得分與初中得分的優(yōu)秀率相同

②高中得分與初中得分的中位數(shù)相同

③高中得分的方差比初中得分的方差大

④高中得分與初中得分的平均分相同

A.①②B.①③C.②④D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司即將推車一款新型智能手機(jī)，為了更好地對產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，需預(yù)估市民購買該款手機(jī)是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了50名市民進(jìn)行購買意愿的問卷調(diào)查，若得分低于60分，說明購買意愿弱；若得分不低于60分，說明購買意愿強(qiáng)，調(diào)查結(jié)果用莖葉圖表示如圖所示．

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為市民是否購買該款手機(jī)與年齡有關(guān)？

購買意愿強(qiáng)

購買意愿弱

合計

20-40歲

大于40歲

合計

（2）從購買意愿弱的市民中按年齡進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，記抽到的2人中年齡大于40歲的市民人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：．

6.635

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）當(dāng)時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂獲得100分，出現(xiàn)一次音樂獲得50分，沒有出現(xiàn)音樂則獲得-300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.

（1）若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂的概率為，求的最大值點；

（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現(xiàn)音樂的盤數(shù)為隨機(jī)變量，求每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率，及隨機(jī)變量的期望；

（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．

（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實數(shù)a的值；

（2）證明：f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當(dāng)時，

（1）求橢圓的方程.

（2）當(dāng)時，求的面積.

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