Question

已知（x+

m

x

）ⁿ展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．
（1）求n；
（2）若展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

35

8

，求m的值；
（3）若（x+m）ⁿ展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n的值．
（2）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為

35

8

，求得m的值．
（3）易知m＞0，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大．則

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

，化簡(jiǎn)，根據(jù)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，求得m的值．

解答： 解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n=8．
（2）設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則Tr+1=

C

r 8

x8-r(

m

x

)r=

C

r 8

mrx8-2r，
故8-2r=0，即r=4，
則

C

4 8

m4=

35

8

，解得m=±

1

2

．
（3）易知m＞0，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大．
則

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

化簡(jiǎn)可得

8m-1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．
由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，
所以

4＜ 8m-1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，即

5 4 ＜m≤2 2≤m＜ 7 2 .

，
所以m只能等于2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．