Question

6．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的值域?yàn)椋?∞，0]∪[4，+∞），則a的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用勾勾函數(shù)的性質(zhì)求解．$y=x+\frac{a}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，y的最小值為2$\sqrt{a}$，當(dāng)x＜0時(shí)，y的最大值為-2$\sqrt{a}$，可得答案．

解答 解：由題意：函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），值域?yàn)椋?∞，0]∪[4，+∞），
令$y=x+\frac{a}{x}$，當(dāng)x＞0，a＞0時(shí)，y的最小值2$\sqrt{a}$，
則當(dāng)x＞0，a＞0時(shí)，$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的最小值為2$\sqrt{a}$+2，
由題意：$2\sqrt{a}+2=4$，解得a=1．滿足題意．
當(dāng)x＜0，a＞0時(shí)，y的最大值為-2$\sqrt{a}$+2，
由題意：-2$\sqrt{a}$+2=-1，解得a=1．滿足題意．
因此得a=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾勾函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．