Question

經(jīng)英國相關(guān)機構(gòu)判斷，MH370在南印度洋海域消失．中國兩艦艇隨即在邊長為100海里的某正方形ABCD（如圖）海域內(nèi)展開搜索．兩艘搜救船在A處同時出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且∠PAQ=

π

4

（其中點P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域為平面四邊形APCQ圍成的海平面．設(shè)∠PAB=θ，搜索區(qū)域的面積為S．
（1）試建立S與tanθ的關(guān)系式，并指出θ的取值范圍；
（2）求S的最大值，并求此時tanθ的值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用S=S_ABCD-S_△ABP-S_△ADQ，可得S與tanθ的關(guān)系式；
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），利用基本不等式，可求S的最大值，并求此時tanθ的值．

解答： 解：（1）∵∠PAB=θ，∠PAQ=

π

4

，
∴S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=10000-5000tanθ-5000tan(

π

4

-θ)
=10000-5000(tanθ+

1-tanθ

1+tanθ

)=10000-5000(tanθ+

2

1+tanθ

-1)，θ∈(0，

π

4

)
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），
則S=10000-5000(t+

2

t

-2)=20000-5000(t+

2

t

)，當t=

2

時，Smax=20000-10000

2

．
∴當tanθ=

2

-1時，搜索區(qū)域面積S的最大值為（20000-10000

2

）平方海里．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查換元法，考查基本不等式的應(yīng)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．