已知|
a
|=2，|
b
|=1，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=9．
（Ⅰ）求
a
與
b
的夾角θ；    
（Ⅱ）求向量
a
在（
a
+
b
）上的投影．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積表示兩個向量的夾角
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由題意求得
a
•
b
=2cosθ，再根據(jù)（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=9，求得cosθ=
1
2
，可得θ 的值．
（Ⅱ）由題意可得，
a
•
b
=1，設(shè)向量
a
與（
a
+
b
）的夾角為α，則cosα=
a
•(
a
+
b
)
|
a
|•|
a
+
b
|
=
a
2+
a
•
b
|
a
|•
(
a
+
b
)2
 的值，從而求得向量
a
在（
a
+
b
）上的投影為|
a
|cosα 的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵
a
與
b
的夾角θ，∴
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cosθ=2cosθ．
再根據(jù)（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2=16-8cosθ-3=9，求得cosθ=
1
2
，
∴θ=
π
3
．
（Ⅱ）由題意可得，
a
•
b
=2×1×cos
π
3
=1，
設(shè)向量
a
與（
a
+
b
）的夾角為α，則cosα=
a
•(
a
+
b
)
|
a
|•|
a
+
b
|
=
a
2+
a
•
b
|
a
|•
(
a
+
b
)2
=
4+1
2
4+2×1+1
=
5
7
14
，
故向量
a
在（
a
+
b
）上的投影為|
a
|cosα=
5
7
7
．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模的方法，一個向量在另一個向量上的投影的定義，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，A={x|x＞2或x＜-2}，B={x|x≤a}，
（1）若a=1，求A∩B，A∪B；
（2）若∁UA⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an-4n+2，bn=an-2n，
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1及通項(xiàng)公式bn；
（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
1
a
y（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y=-1．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F是拋物線C的焦點(diǎn)，直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，記直線AF，BF的斜率之和為m．若對任意的實(shí)數(shù)k（k≠0），直線l恒過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100t，平均分成若干批生產(chǎn)．設(shè)每批生產(chǎn)需要投入固定費(fèi)用75元，而每批生產(chǎn)直接消耗的費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比，已知每批生產(chǎn)10t時，直接消耗的費(fèi)用為300元（不包括固定的費(fèi)用）．
（1）若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t，求此產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期的總費(fèi)用（固定費(fèi)用和直接消耗的費(fèi)用）．
（2）設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt，一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①f（x）=ex•（cosx+sinx）；②y=
x+cosx
x+sinx
；
（2）求下列定積分的值：（1）
∫
2
1
（
1
x
+x+ex+cosx）dx；②
a
-a
a2-x2
dx，a＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)α、β是一直角三角形的兩條直角邊，且α、β是方程x2-2（m-2）x+（m-2）（m-4）=0的兩個實(shí)根，若該三角形斜邊上的高為h=
30
10
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)A（4，-2），F(xiàn)為y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動，當(dāng)MA+MF取最小值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某商品的價(jià)格2007年比2005年上漲25%，由于市場供求關(guān)系的變化，2009年該商品價(jià)格比2005年上漲10%，那么2009年該商品價(jià)格比2007年下降
 
．

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同步練習(xí)冊答案