Question

9．已知P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左右焦點，直線PF₂與圓：x²+y²=a²相切，切點為線段PF₂的中點，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意，△PF₁F₂為直角三角形，PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2a，|PF₂|=|PF₁|+2a=4a，利用勾股定理，建立方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，△PF₁F₂為直角三角形，PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2a，|PF₂|=|PF₁|+2a=4a，
在直角△PF₁F₂中，4c²=4a²+16a²，
∴c²=5a²，
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線與圓相切，考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．