Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．
（1）求通項(xiàng)公式an；
（2）求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

當(dāng)n≥2時，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

兩式相減得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，當(dāng)n=1時，a1=1，a2=3，

滿足an+1=3an，

∴ =3，則數(shù)列{an}是公比q=3的等比數(shù)列，

則通項(xiàng)公式an=3n﹣1．

（2）解：an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

設(shè)bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

則b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

當(dāng)n≥3時，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

則bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此時數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和Tn=3+ ﹣ = ，

則Tn= = ．

【解析】（1）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項(xiàng)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列{an}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求通項(xiàng)公式an；（2）討論n的取值，利用分組法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和等差數(shù)列即可求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和．