Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為(

5

，0)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為12
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，3），若在橢圓上的點(diǎn)M、N滿足

PM

=λ

PN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為(

5

，0)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為12，得到

a2-b2=5 2ab=12

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）由

PM

=λ

PN

，知（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，y=kx+3 與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1聯(lián)立得（9k²+4）x²+54kx+45=0，由△≥0，得k²≥

5

9

，由此入手，由韋達(dá)定理能夠求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為(

5

，0)，
四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為12，
∴

a2-b2=5 2ab=12

，
解得a=3，b=2，
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）
∵

PM

=λ

PN

，
（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，
y=kx+3 與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1聯(lián)立整理得
（9k²+4）x²+54kx+45=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=-

54k

9k2+4

，
x2=-

54k

(9k2+4)(1+λ)

，（1）
x1•x2=

45

9k2+4

=λx₂²，（2）
將（1）代入（2）
 λ [

-54k

(9k2+4)(1+λ)

]2=

45

9k2+4

，
整理得k²=

20(λ+1)2

(-45-45λ2+234λ)

，
在（9k²+4）x²+54kx+45=0中，
△=（54k）²-4（9k²+4）×45≥0，
整理得k²≥

5

9

，
將k²=

20(λ+1)2

(-45-45λ2+234λ)

代入，
整理得

9λ2-18λ+9

5λ2-26λ+5

≤0，
所以

1

5

≤λ≤5．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．