Question

9．已知點(diǎn)A（x₁，log_ax₁），B（x₂，log_ax₂）是函數(shù)y=log_ax（a＞1）的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，因此有結(jié)論$\frac{lo{g}_{a}{x}_{1}+lo{g}_{a}{x}_{2}}{2}$＜log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立，運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)C（x₁，cosx₁）、D（x₂，cosx₂）是函數(shù)y=cosx（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的圖象上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立．

Answer 1

分析 由類比推理的規(guī)則得出結(jié)論，本題中所用來類比的函數(shù)是一個(gè)變化率越來越大的函數(shù)，而要研究的函數(shù)是一個(gè)變化率越來越小的函數(shù)，其類比方式可知．

解答 解：由題意知，點(diǎn)A（x₁，log_ax₁），B（x₂，log_ax₂）是函數(shù)y=log_ax（a＞1）的圖象上任意不同兩點(diǎn)，函數(shù)是變化率逐漸變大的函數(shù)，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，因此有結(jié)論$\frac{lo{g}_{a}{x}_{1}+lo{g}_{a}{x}_{2}}{2}$＜log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立；而函數(shù)y=cosx（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）其變化率逐漸變小，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，故可類比得到結(jié)論$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查類比推理，求解本題的關(guān)鍵是理解類比的定義，及本題類比的對象之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而得出類比結(jié)論．