Question

19．如圖，在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直線AC₁與面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）直三棱柱的側(cè)棱和底面垂直，從而可得到AD⊥BB₁，并且AD⊥BC，從而由線面垂直的判定定理可得到AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）連接C₁D，從而可得到∠AC₁D為直線AC₁和平面BCC₁B₁所成角，在Rt△AC₁D中，容易求出AD，AC₁，從而sin∠AC₁D=$\frac{AD}{A{C}_{1}}$．

解答 證：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC；
∴BB₁⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)；
∴AD⊥BC，BC∩BB₁=B；
∴AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）連接C₁D，由（1）AD⊥平面BCC₁B₁；
則∠AC₁D即為直線AC₁與面BCC₁B₁所成角；
在直角△AC₁D中，$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$A{C_1}=\sqrt{2}$，$sin∠A{C_1}D=\frac{AD}{{A{C_1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$；
即直線AC₁與面BCB₁C₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及線面角的定義，正弦函數(shù)的定義．