Question

已知兩個數(shù)列{S_n}、{T_n}分別：
當n∈N^*，S_n=1-，T_n=．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n與T_n的關系，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（2）利用（1）的結果，直接猜想S_n=T_n，然后利用數(shù)學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設n=k時，S_k=T_k，通過假設證明n=k+1時猜想也成立即可．
解答：解：（1）S₁=1-=，S₂=1-=
T₁=，T₂==（2分）
（2）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-=．
（n∈N*）（5分）
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，已證S₁=T₁（6分）
②假設n=k時，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：（8分）
則：S_k+1=S_k=T_k（10分）
=（11分）
=
==T_k+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）
點評：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．