Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意的等差數(shù)列{a_n}及任意的正整數(shù)n都有不等式 

a

2 n

+

S 2 n

n2

≥λa

2 1

成立，則實數(shù)λ的最大值為

1

5

．

Answer 1

分析：由等差數(shù)列{a_n}前n項之和是S_n，我們利用等差數(shù)列的前n項和公式，可將不等式an2+

S 2 n

n2

≥λa12進行變形，配方后，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，易得實數(shù)λ的最大值．

解答：解：∵S_n=

a1+an

2

•n，
∴λan2+

Sn2

n2

≥a12可以變形成：

5

4

an2+

1

2

a₁a_n+（

1

4

-λ）a12≥0，
即（

5

4

a_n+

1

5

a₁）²+（

1

5

-λ）a12≥0，
若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12對任意{a_n}和正整數(shù)n恒成立，
僅需要λ≤

1

5

即可，
則實數(shù)λ的最大值為

1

5

．
故答案為：

1

5

．

點評：數(shù)列是一種定義域為正整數(shù)的特殊函數(shù)，我們可以利用研究函數(shù)的方式研究它，特別是等差數(shù)列對應的一次函數(shù)，等比數(shù)列對應的指數(shù)型函數(shù)，我們要善于通過數(shù)列的通項公式、前n項和公式，或數(shù)列相關的一些性質(zhì)，在解數(shù)列相關的不等式時，也可以利用配方法、放縮法等解不等式的方法．