已知函數(shù)
(1)求出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)y=f(x)圖象在點(diǎn)處切線的下方;
(3)利用(2)的結(jié)論證明下列不等式:“已知,且a+b+c=1,證明:”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想的最大值.(只指出正確結(jié)論,不要求證明)
【答案】分析:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,常用導(dǎo)數(shù)法,可以先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)大于0解出函數(shù)增區(qū)間,用導(dǎo)數(shù)小于0解出函數(shù)的減區(qū)間;
(2)先求出點(diǎn)處切線的方程,再通過(guò)比較-<x<+∞時(shí)兩函數(shù)函數(shù)值的大小證明;
(3)由(2),得,,,將三式相加即可證得不等式.
(4)由(3)的證明結(jié)論總結(jié)規(guī)律,寫(xiě)出符合規(guī)律的猜想: 的最大值是
解答:解:(1)f(x)=的定義域是(-∞,+∞),因?yàn)閒'(x)=,所以f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,在[-1,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減.…(4分)
(2)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x,f(x))處的切線方程為y-=
當(dāng)x=時(shí),函數(shù)在點(diǎn)(,)處的切線方程是y-=(x-),即y= …(7分)
要證當(dāng)-<x<+∞時(shí),證明函數(shù)圖象在點(diǎn)(,)處切線的下方,只需證明,成立. 這等價(jià)于證明(3x-1)2(4 x+3)≥0,這是顯然的.…(10分)
(3)由(2),知,
將三個(gè)不等式相加得++.…(13分)
(4)由(3):“已知,且a+b+c=1,必有”;不等式左邊是三個(gè)式子的和,分母都是分子的平方加1,不等式右邊是個(gè)分?jǐn)?shù),分子是3的平方,而分母是3的平方加1,3正好對(duì)應(yīng)a,b,c數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)3,
又a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,故可猜想 的最大值是.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,恒等式的證明,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,本題綜合性強(qiáng)運(yùn)算量大,且證明方法新穎,考查判斷推理的能力,解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題設(shè)中的條件與要證的結(jié)論分析出恰當(dāng)?shù)淖C明方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式;
(1)求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得數(shù)學(xué)公式成立,若存在求出x0;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年四川省攀枝花市米易中學(xué)高一(上)第二次段考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求出函數(shù)f(x)的最小正周期和f(0)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最小值和最大值,并求出取得最值時(shí)x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x,使得成立,若存在求出x;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分16分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)

已知函數(shù);

(1)求出函數(shù)的對(duì)稱中心;(2)證明:函數(shù)在上為減函數(shù);

(3)是否存在負(fù)數(shù),使得成立,若存在求出;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案