【題目】如圖,在直三棱柱中,已知,,,.是線段的中點.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題(1)利用空間向量研究線面角,首先建立恰當空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組求面的法向量,最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值的絕對值,也是線面角的正弦值(2)利用空間向量研究二面角,首先建立恰當空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組求兩個平面的法向量,最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值,根據(jù)圖形確定二面角的大小的余弦值與夾角余弦值之間關系.
試題解析:因為在直三棱柱中,,所以分別以、、所在的直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,
則,
因為是的中點,所以,
(1)因為,設平面的法向量,
則,即,取,
所以平面的法向量,而,
所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為;
(2),,設平面的法向量,
則,即,取,平面的法向量,
所以,
二面角的大小的余弦值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)將甲、乙兩個學生在高二的6次數(shù)學測試的成績(百分制)制成如圖所示的莖葉圖,進入高三后,由于改進了學習方法,甲、乙這兩個學生的考試成績預計同時有了大的提升:若甲(乙)的高二任意一次考試成績?yōu)?/span>,則甲(乙)的高三對應的考試成績預計為.
(1)試預測:高三6次測試后,甲、乙兩個學生的平均成績分別為多少?誰的成績更穩(wěn)定?
(2)若已知甲、乙兩個學生的高二6次考試成績分別由低到高進步的,定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學生的當次成績之差的絕對值,求的平均值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),其中.
(1)討論的單調性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對于任意,存在實數(shù),當時,恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他門各應償還多少?該問題中,1斗為10升,則羊主人應償還多少升粟?( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進行象棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結果相互獨立.
(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率;
(2)用X表示比賽決出勝負時的總局數(shù),求隨機變量X的分布列和均值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某個機械零件是由兩個有公共底面的圓錐組成的,且這兩個圓錐有公共點的母線互相垂直,把這個機械零件打磨成球形,該球的半徑最大為1,設這兩個圓錐的高分別為,則的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通項公式an;
(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和.
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