【題目】設函數(shù),其中.

1)討論的單調(diào)性;

2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

3)求證:對于任意,存在實數(shù),當時,恒成立.

【答案】1)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);(2;(3)證明見解析

【解析】

1)求出原函數(shù)的導函數(shù).可得當時,,函數(shù)上單調(diào)遞減;當時,令求得值,把定義域分段,由導函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號,可得原函數(shù)的單調(diào)性;

2)由恒成立,通過分離參數(shù)法,轉化成不等式恒成立,設,通過導函數(shù)求出的單調(diào)性,進而得出的最大值,即可求出a的取值范圍;

(3)由(1)可知當時,上為減函數(shù),在上為增函數(shù),再分類討論:時,當時,,此時取;②當時,構造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性,可得出時,,此時取,綜合兩種情況,即可證明出.

解:(1,

①當時,恒成立,所以上為減函數(shù);

②當時,由,得,由,得

,得

所以上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

2)由得,,即不等式,恒成立,

,則,由得,

得,;由得,.

所以為增函數(shù),在上為減函數(shù),

所以,所以.

3)證明:由(1)知,

時,上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

①當,即時,因為上為增函數(shù),

,所以,當時,,此時取.

②當,即時,

因為,所以

,令,,則上式,

,,則,

所以上為增函數(shù),所以,即

因為上為增函數(shù),且,

所以當時,,此時取.

綜上,對于任意,存在實數(shù),當時,恒成立.

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