Question

將四種個(gè)不同顏色的乒乓球，隨機(jī)放入編號分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中
（1）求第一個(gè)盒子為空盒子的概率
（2）求放乒乓球最多的盒子中乒乓球個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）把4個(gè)小球放入4個(gè)盒中，基本事件總數(shù)n=4⁴，第一個(gè)盒子為空盒子，包含的基本事件的個(gè)數(shù)m=3⁴，由此能求出第一個(gè)盒子為空盒子的概率．
（2）由題意得ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）把4個(gè)小球放入4個(gè)盒中，基本事件總數(shù)n=4×4×4×4=4⁴，
第一個(gè)盒子為空盒子，包含的基本事件的個(gè)數(shù)m=3×3×3×3=3⁴，
∴第一個(gè)盒子為空盒子的概率P=

m

n

=

34

44

=

81

256

．
（2）由題意得ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=

A 4 4

44

=

24

256

，
P（ξ=2）=

C 2 4 A 3 4

44

+

C 2 4 C 2 2 A 2 2 • A 2 4

44

=

180

256

，
P（ξ=3）=

C 3 4 A 2 4

44

=

48

256

，
P（ξ=4）=

C 4 4 A 1 4

44

=

4

256

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	24 256	180 256	48 256	4 256

∴Eξ=1×

24

256

+2×

180

256

+3×

48

256

+4×

4

256

=

17

8

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識的合理運(yùn)用．