Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1），設(shè)b_n+1=2log₃a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n是a_n與b_n的等比中項，求數(shù)列{c_n²}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式可得a_n=3a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出a_n，由b_n+1=2log₃a_n，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的定義即可證明．
（II）由c_n是a_n與b_n的等比中項，可得

c

2 n

=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （I）證明：當(dāng)n=1時，a1=S1=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時，∵S_n=

3

2

（a_n-1），
∴S_n=

3

2

(an-1-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

（a_n-1）-

3

2

(an-1-1)，
化為a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，首項為3．
∴an=3n．∴b_n+1=2log₃a_n=2log33n=2n，
∴b_n=2n-1，∴b_n+1-b_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
（II）解：∵c_n是a_n與b_n的等比中項，
∴

c

2 n

=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{c_n²}的前n項和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，
3T_n=3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=2×

3(3n-1)

3-1

-3-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）×3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）×3ⁿ⁺¹+3．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用、“錯位相減法”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．