Question

8．已知拋物線${C_1}：{y^2}=2px（p＞0）$的焦點為F，準(zhǔn)線為l，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直線l截得的線段長為$2\sqrt{3}$．
（1）求拋物線C₁和圓C₂的方程；
（2）設(shè)直線l與x軸的交點為A，過點A的直線n與拋物線C₁交于M、N兩點，求證：直線MF的斜率與直線NF的斜率的和為定值．

Answer 1

分析 （1）利用圓${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直線l截得的線段長為$2\sqrt{3}$，建立方程，求出p，即可求拋物線C₁和圓C₂的方程；
（2）設(shè)設(shè)直線n：x=ky-1，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，由兩點式求出斜率后作和化簡，代入根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案．

解答 （1）解：圓心到直線的距離d=$\frac{p}{2}$，
∵圓${C_2}：{x^2}+{y^2}={p^2}$被直線l截得的線段長為$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$+3=p²，∴p=2，
∴${C_1}：{y^2}=4x$（3分）  ${C_2}：{x^2}+{y^2}=4$（1分）
（2）證明：設(shè)直線n：x=ky-1，與拋物線聯(lián)立得y²-4ky+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=4，
則直線MF的斜率與直線NF的斜率的和為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{8k-8k}{（k{y}_{1}-2（（k{y}_{2}-2）}$=0   （8分）

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，采用設(shè)而不求的方法解決，此題屬中檔題．