【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC= AB= ,平面PBC⊥平面ABCD.

(1)求證:AC⊥PB;
(2)若PB=PC= ,問在側(cè)棱PB上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)CE,

∵AB∥CD,DC= AB,∴DC AE,

∴四邊形AECD是平行四邊形,

又∵∠ADC=90°,∴四邊形AECD是正方形,∴CE⊥AB,

∴△CAB是等腰三角開有,且CA=CB=2,AB=2 ,

∴AC2+CB2=AB2,∴AC⊥CB,

又∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,

∴AC⊥平面PBC,

又PB平面PBC,∴AC⊥PB


(2)解:設(shè)BC的中點(diǎn)為F,連結(jié)PF,

∵PB=PC,∴PF=BC,

∴PF⊥平面ABCD,∴PF⊥AC,

連結(jié)EF,則EF∥AC,∴PF⊥FE,EF⊥BC,

分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

∵AD=PB=PC= ,則F(0,0,0),A(2,﹣1,0),

B(0,1,0),D(1,﹣2,0),P(0,0,1),

=(0,1,﹣1), =(﹣1,﹣1,0), =(0,0,1),

若在線段PB上存在一點(diǎn)M,設(shè) = ,(0≤λ<1),

,∴ =λ(0,1,﹣1)+(0,0,1)=(0,λ,1﹣λ),

∴M(0,λ,1﹣λ),

設(shè)平面MAD的一個(gè)法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1, ),

平面ABCD的法向量 =(0,0,1),

∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ,

∴|cos< >|= = = ,

解得 或λ=2(舍).

∴存在點(diǎn)M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ,且 =


【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)CE,推導(dǎo)出四邊形AECD是正方形,從而CE⊥AB,再求出AC⊥CB,由此能證明AC⊥PB.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為F,連結(jié)PF,分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變

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