Question

（2012•奉賢區(qū)一模）正數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）求證：a_n+2-a_n是一個(gè)定值；
（2）若數(shù)列{a_n}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，求a的取值范圍；
（3）若S₂₀₁₃是一個(gè)整數(shù)，求符合條件的自然數(shù)a．?

Answer 1

分析：（1）由2S_n=a_na_n+1-1，得2S_n+1=a_n+1a_n+2-1，故2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能夠證明a_n+2-a_n=2．
（2）取n=1，得2a=aa₂-1，故a2=

1+2a

a

=2+

1

a

，根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，能求出a的取值范圍．
（3）由a2012=2012+

1

a

，a2013=2012+a，求出S₂₀₁₃=2026084+1007a+

1006

a

，由此能夠求出符合條件的自然數(shù)a．

解答：（1）證明：2S_n=a_na_n+1-1①，
2S_n+1=a_n+1a_n+2-1②，
②-①：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
任意n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+2-a_n=2…（4分）
（2）解：計(jì)算n=1，2a=aa₂-1，
∴a2=

1+2a

a

=2+

1

a

…（6分）
根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：a，2+

1

a

，a+2，4+

1

a

，a+4，6+

1

a

，…
所以奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列，
整個(gè)數(shù)列成單調(diào)遞增的充要條件是a＜2+

1

a

＜a+2…（8分）
解得1＜a＜1+

2

…（10分）
（3）解：a2012=2012+

1

a

，a2013=2012+a，
S₂₀₁₃=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₂）
=

(a+2012+a)

2

×1007+

(2+ 1 a +2012+ 1 a )

2

×1006
=2026084+1007a+

1006

a

…（14分）
S₂₀₁₃是一個(gè)整數(shù)，
所以a=1，2，503，1006一共4個(gè)
對一個(gè)得（1分），合計(jì)（4分）

點(diǎn)評：本題考查定值的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查符號條件的自然數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．