10．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，a+c=4，（2-cosA）tan$\frac{B}{2}$=sinA，則△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

分析 使用半角公式化簡條件式，利用正弦定理得出a，b，c的關(guān)系，使用海倫公式和基本不等式得出面積的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵（2-cosA）tan$\frac{B}{2}$=sinA，∴（2-cosA）$•\frac{sinB}{1+cosB}$=sinA，
即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，
∴2b=a+c=4，∴b=2．
∵a+c=4，∴a=4-c．
∴S=$\sqrt{3（3-a）（3-b）（3-c）}$=$\sqrt{3（3-c）（c-1）}$
∵（3-c）（c-1）≤$（\frac{3-c+c-1}{2}）^{2}$=1，
∴S≤$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理，三角函數(shù)化簡，三角形的面積公式，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-2
（Ⅰ）若點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-1）在角α的終邊上，求f（α）的值
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最值．

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1．設(shè)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$，若M=$\frac{{（\frac{1}{2}）}^{x+2y}}{{2}^{y}}$-$\frac{1}{2}$，則（　�。�
A．M＞0B．M≥0C．M≤0D．不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．函數(shù)y=$\sqrt{lo{g}_{a}{x}^{2}-1}$的定義域是a＞1時，（-∞，-$\sqrt{a}$]∪[$\sqrt{a}$，+∞）；
1＞a＞0時，[-$\sqrt{a}$，0）∪（0，$\sqrt{a}$]．

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5．已知sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則sinα=$\frac{1}{2}$．

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15．角α=-$\frac{5π}{2}$，則sinα，tanα的值分別為（　　）
A．-1，不存在B．1，不存在C．-1，0D．1，0

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2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
（1）作出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并結(jié)合圖象，指出不等式f（x）＜2的解集．

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19．已知sin（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{5}{13}$，0＜x＜$\frac{π}{4}$，則cos2x=$\frac{120}{169}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=3${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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