Question

在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則事件“2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1”發(fā)生的概率為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：概率與統(tǒng)計

分析：利用輔助角公式將條件進(jìn)行化簡，結(jié)合幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=sinx+

3

cosx+

3

=2sin（x+

π

3

）+

3

，
若2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1，
則2sin（x+

π

3

）+

3

≤

3

+1，
即2sin（x+

π

3

）≤1，
即sin（x+

π

3

）≤

1

2

，
∵0≤x≤π，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

4π

3

，
則

5π

6

≤x+

π

3

≤

4π

3

，
解得

π

2

≤x≤π，
則事件“2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1”發(fā)生的概率為

π- π 2

π-0

=

1

2

，
故答案為：

1

2

點評：本題主要考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用，利用輔助角公式將不等式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．