如圖，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=BC=2BD，則二面角B-AC-D的正弦值為
 
．
考點：二面角的平面角及求法
專題：空間角
分析：取AC中點E，連EB，過E做AC的垂線交AD于F，由已知得△BFE是直角三角形，∠BEF是二面角B-AC-D的平面角，由此能求出二面角B-AC-D的正弦值．
解答： 解：取AC中點E，連EB，過E做AC的垂線交AD于F
設AB=2a，BC=2a，BD=a，AC=2
2a
，DC=
3a
，
在△ADC中，AF=
4
5
5
，
在△ABD中，AD⊥BF，
又DC⊥BD，由三垂線定理知AD⊥DC，
∴DC⊥面ABD 又BF?面ABD，
∴BF⊥DC，BF⊥面ADC，∴△BFE是直角三角形，
∠BEF是二面角B-AC-D的平面角，
sin∠BEF=
FB
EB
=
10
5
．
故答案為：
10
5
．
點評：本題考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題：
①到定點的距離等于到定直線的距離點的軌跡為拋物線；
②設集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；
③曲線
x2
2sinθ+3
+
y2
sinθ-2
=1表示雙曲線；
④直線l過雙曲線
x2
4
-
y2
2
=1的焦點截雙曲線的弦長為2的直線僅有一條．
則上述命題中真命題為
 
（填上序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=sin（
1
2
x+
π
3
），x∈[-2π，2π]的單調遞增區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a=45，b=80，則a，b的等比中項為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，
a1+a2+…+an
b1+b2+…+bn
=
7n+2
n+3
，則
an
bn
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）（x∈[0，π]）的單調遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“2cos
x
2
（sin
x
2
+
3
cos
x
2
）≤
3
+1”發(fā)生的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=a2-sinx，則f′（x）=（　�。�
A、-sinx
B、-cosx
C、2a+sinx
D、2a-sinx

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一直線的傾斜角為α，且滿足45°≤α≤150°，則直線的斜率的取值范圍為（　　）
A、[-
3
3
，1]
B、（-∞，-
3
3
]∪[1，+∞）
C、（-∞，-
3
]∪[1，+∞）
D、[-
3
，1]

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