Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²+27（a-2）x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，試判斷f（x）在區(qū)間[-4，5]上的單調(diào)性，并求出f（x）在區(qū)間[-4，5]上的最值．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則f（x）是奇函數(shù)，求得a、b的值，可得f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則f（x）是奇函數(shù)，所以，f（0）=b=0，且a-1=0，
解得a=1，b=0，于是f（x）=x³-27x，f′（x）=3x²-27．
∴當(dāng)x∈（-3，3）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（-4，-3）和（3，5）時(shí)，f′（x）＞0．
又∵函數(shù)f（x）在[-4，5]上連續(xù)．
∴f（x）在（-3，3）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（-4，-3）和（3，5）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是-54．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．