已知點(diǎn)P為橢圓
x2
20
+
y2
15
=1上一點(diǎn)，A、B為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上不同的兩點(diǎn)，且
OP
=2
OA
+
OB
，若OA、OB所在的直線的斜率為k1、k2，則k1•k2=
-
3
4
-
3
4
．
分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．利用點(diǎn)與橢圓的關(guān)系可得
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．再利用向量的運(yùn)算
OP
=2
OA
+
OB
，可得
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入點(diǎn)P滿足的橢圓方程即可得出．
解答：解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
則
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．
∵
OP
=2
OA
+
OB
，∴
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入上述方程得
(2x1+x2)2
20
+
(2y1+y2)2
15
=1，
∴
4
5
(
x
2
1
4
+
y
2
1
3
)+
1
5
(
x
2
2
4
+
y
2
2
3
)+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
∴
4
5
+
1
5
+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
得
y1y2
x1x2
=-
3
4
．
故答案為-
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握點(diǎn)與橢圓的關(guān)系、向量的運(yùn)算與相等、斜率的計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓方程為C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P（x0，y0）為第一象限內(nèi)的點(diǎn)．直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的最大夾角；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．試找出使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的條件（用k1、k2表示）．
（3）又已知點(diǎn)E為拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，直線F2E與橢圓C的交點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，且滿足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•湖北模擬）已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓E：
x2
2
+y2=1上任意一點(diǎn)x0y0≠1，直線l的方程為
x0x
2
+y0y=1
（I）判斷直線l與橢圓E交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（II）直線l0過P點(diǎn)與直線l垂直，點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線l0的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線PN恒過一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，橢圓的下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，，圓M是以PF2為直徑的圓．
（1）若圓M過原點(diǎn)O，求圓M的方程；
（2）當(dāng)圓M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線的方程；
（3）寫出一個(gè)定圓的方程，使得無論點(diǎn)P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切．請(qǐng)寫出你的探究過程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)H（-3，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸上，其橫坐標(biāo)不小于零，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
2
+y2=1，并將（2）中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F（1，0），求與（2）相類似的問題的解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓方程為C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P（x0，y0）為第一象限內(nèi)的點(diǎn)．直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的最大夾角；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．試找出使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的條件（用k1、k2表示）．
（3）又已知點(diǎn)E為拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，直線F2E與橢圓C的交點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，且滿足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．

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