Question

在如圖所示的幾何體中，平面ACE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=2EF，．
（1）求證：AE⊥平面BCEF；
（2）求二面角A-BF-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由平面ACE⊥平面ABCD，BC⊥AC，知BC⊥平面AEC，從而得到BC⊥AE，由，知AE⊥EC，由此能夠證明AE⊥平面ECBF．
（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=2，利用向量法能求出二面角A-BF-C的大小．
法二：取AB的中點(diǎn)H，連接CH，因?yàn)锳C=BC，則CH⊥AB，得到CH⊥平面ABF，過H向BF引垂線交BF于R，連接CR，則CR⊥BF，從而得到∠HRC為二面角A-BF-C的平面角，由此能求出二面角A-BF-C的大�。�
解答：解：（1）∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面AEC（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又，∴AE⊥EC，…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
（2）（解法一）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AC=BC=2，則，
則由題意得A（0，0，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），
=（2，-2，0），=（0，2，0），
F（1，-1，1），=（-1，1，1）．…（8分）
設(shè)平面BFC的法向量為，
由，得，（9分）
設(shè)平面ABF的法向量為，
由，得，（10分）
所以，
∴二面角A-BF-C的大小為60°．…（12分）
（解法二）取AB的中點(diǎn)H，連接CH，因?yàn)锳C=BC，則CH⊥AB，
∴CH⊥平面ABF，過H向BF引垂線交BF于R，連接CR，
則CR⊥BF，∠HRC為二面角A-BF-C的平面角．…（9分）
由題意，不妨設(shè)AC=BC=2，
連接FH，則FH⊥AB，又
因此在Rt△BHF中，，，
所以在Rt△CHR中，，…（11分）
因此二面角A-BF-C的大小為60°．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．