Question

已知長方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA₁的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為

A．8

B．16:

C．14

D．18

Answer 1

B.

解析試題分析：∵長方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內(nèi)接于球O，∴球心O是A中點(diǎn)。
∵ABCD是邊長為2的正方形，∴BD=2 ，
設(shè)BD中點(diǎn)為O‘，連接OO'
∴OO'⊥平面ABCD
∵E為A 的中點(diǎn)，
∴AE//OO'， AE=OO'
∴AO'OE為矩形
∵OA垂直平面BDE
∴OA⊥EO'
∴AO'OE為正方形
∴AO= AO'=2
即球O的半徑R=2
∴球O面積4πR²=16π，故選B。

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何平行關(guān)系、垂直關(guān)系、長方體、球的幾何特征，球的表面積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，首先認(rèn)定球心O是A中點(diǎn)，圍繞球半徑的計(jì)算，構(gòu)造出現(xiàn)直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求解。