Question

已知拋物線y²=4x，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)l的方程為：y=k（x+1），聯(lián)立

y2=4x y=k(x+1)

，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式能求出直線方程．

解答： 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
直線l過(guò)（-1，0），設(shè)l的方程為：y=k（x+1），
聯(lián)立

y2=4x y=k(x+1)

，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∵直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1，
y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=-

2k2-4

k

+2k=

4

k

，
∴以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為M（-

k2-2

k2

，

2

k

），
|MF|=

(1+ k2-2 k2 )2+(0- 2 k )2

=

4k4-6k2+4

k2

，
|AB|=

1+k2

•

(- 2k2-4 k2 )2-4

，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，
∴

1

2

1+k2

•

(- 2k2-4 k2 )2-4

=

4k4-6k2+4

k2

，
解得k²=

3

4

，即k=±

3

2

，
∴直線l的方程為y=±

3

2

（x+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．