Question

11．某企業(yè)準備投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內預計銷售Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為Q=$\frac{3x+1}{x+1}$（x≥0）．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬元此產品仍需再投入32萬元，若每件銷售價為“平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和．
（1）試將年利潤W（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數；
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）根據生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和，可建立函數關系式；
（2）利用換元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由題意可得，產品的生產成本為（32Q+3）萬元，
每萬件銷售價為$\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%$，（2分）
∴年銷售收入為$（{\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%}）•Q$=$\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x$，（4分）
∴年利潤$W=\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x-（32Q+3）-x$=$\frac{1}{2}（32Q+3-x）=\frac{{-{x^2}+98x+35}}{2（x+1）}（x≥0）$．（6分）
（2）令x+1=t（t≥1），則$W=\frac{{-{{（t-1）}^2}+98（t-1）+35}}{2t}=50-（{\frac{t}{2}+\frac{32}{t}}）$．（8分）
∵t≥1，∴$\frac{t}{2}+\frac{32}{t}≥2\sqrt{\frac{t}{2}•\frac{32}{t}}=8$，即W≤42，（10分）
當且僅當$\frac{t}{2}=\frac{32}{t}$，即t=8時，W有最大值42，此時x=7．
即當年廣告費為7萬元時，企業(yè)利潤最大，最大值為42萬元．（12分）

點評 本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用利潤=收入-成本，得到年利潤的表達式是解答本題的關鍵．