Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1），給出以下命題：
①當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1）；        
②函數(shù)f（x）有五個(gè)零點(diǎn)；
③若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是f（-2）≤m≤f（2）；
④對(duì)?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
其中，正確命題的序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：設(shè)x＜0，則-x＞0，由函數(shù)得性質(zhì)可得解析式，可判①的真假，再由性質(zhì)作出圖象可對(duì)其他命題作出判斷．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1），
設(shè)x＜0，則-x＞0，所以-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），故①正確；
對(duì)x＜0時(shí)的解析式求導(dǎo)數(shù)可得，f′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且當(dāng)x∈（-∞，-2）上導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-2，+∞）上導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，
x=-2處為極小值點(diǎn)，且f（-2）＞-1，且在x=1處函數(shù)值為0，且當(dāng)x＜-1是函數(shù)值為負(fù)．
又因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f（x）的圖象應(yīng)如圖所示：
由圖象可知：函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，故 ②錯(cuò)誤；
若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1＜m＜1，故③錯(cuò)誤；
由于函數(shù)-1＜f（x）＜1，故有對(duì)?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即④正確．
故正確的命題為①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，由圖象作出函數(shù)的圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．