Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)
（1）求四邊形QAMB的面積的最小值
（2）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），求切線QA、QB及直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）利用QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)，推出四邊形QAMB的面積的表達(dá)式，通過圖象可知MQ≥MO，然后求出最小值
（2）利用點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)出切線QA、QB的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出切線方程，求出B的坐標(biāo)，利用AB與MQ垂直推出AB的斜率，然后求出直線AB的方程．

解答：解：（1）圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)
∴MA⊥AQ，MA=1．
∴S_QAMB=2S_△AQB=MA•QA=QA=

MQ2-MA2

=

MQ2-1

≥

MO2-1

=

3

．
（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)過點(diǎn)Q的圓的切線方程為x=my+1，
則圓心M到切線x-my-1=0的距離為1．∴

|2m+1|

1+(-m)2

=1
即

|2m+1|

m2+1

=1解得m=0或-

4

3

．
∴切線QA、QB的方程分別為3x+4y-1=0和x=1．
切點(diǎn)B（1，2），∵AB⊥MQ，
所以K_AB=-

1

KMQ

=-

1-0

0-2

=

1

2

．
所以AB的方程為：y-2=

1

2

（x-1）．
即x-2y+3=0．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，幾何圖形的面積的求法，切線方程與直線方程的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．