Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，底面是等腰梯形，且，，，，為的中點，為的中點，且．

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】

試題分析：（1）證明：△ADE是等邊三角形，M是DE的中點

AM⊥DE，， 1分

在△DMC中，DM＝1，∠CDM＝60°，CD＝4，

2分

在△AMC中， 3分

AM⊥MC 4分

MC∩DE＝M，MC平面BCD，DE平面BCD，

AM⊥平面BCD 5分

AM平面ADE，

平面ADE⊥平面BCD 6分

（2）證法一：分別取AD，DC的中點G、N，連接FG，GE，F(xiàn)N，NB．

∵AC＝DC，F(xiàn)、N分別是AC、DC的中點，

∴FN∥AD且，∴FN∥GD且FN＝GD，

∴四邊形DNFG是平行四邊形，

∴FG∥DN且FN＝DN， 7分

點N是DC的中點，∴BC＝NC，

又∠BCN＝60°，∴△BCN是等邊三角形，∴∠CBN＝∠CDE＝60°，

BN∥DE且BN＝DE，

∴四變形EBND是平行四邊形，

∴DN∥EB且DN＝EB， 8分

∴FB∥GE且FB＝GE， 9分

又FB平面ADE，GE平面ADE， 10分

∴FB∥平面ADE． 11分

證法二：取DC的中點N，連接FN，NB．

∵AC＝DC，F(xiàn)、N分別是AC、DC的中點，

∴FN∥AD．

又FN平面ADE，AD平面ADE，

∴FN∥平面ADE． 7分

∵點N是DC的中點，∴BC＝NC，

又∠BCN＝60°，∴△BCN是等邊三角形，∴∠CBN＝∠CDE＝60°，

BN∥DE，

又BN平面ADE，ED平面ADE，∴BN∥平面ADE． 8分

∵FN∩BN＝N， 9分

∴平面ADE∥平面FNB， 10分

∵FB平面FNB，∴FB∥平面ADE． 11分

（3）過點B作BH⊥NC于H，則

12分

由（2）知四邊形EBND是平行四邊形，∴EB＝ND＝2，

∴底面等腰梯形BCDE的面積， 13分

∴四棱錐A-BCDE的體積 14分

考點：考查了平面與平面垂直和直線與平面平行的判定，錐體的體積．