Question

已知8張獎券中有一、二等獎各1張，三等獎2張，其余4張無獎，現(xiàn)將這8張獎券隨機(jī)分配給甲、乙、丙、丁四人，每人2張．
（1）求至少有3人獲獎的概率；
（2）若一、二、三等獎的獎金分別為100元、70元、20元，設(shè)甲最終獲得資金X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意，每人2張總可能情況有：

C

2 8

•

C

2 6

•

C

2 4

•

C

2 2

=7×6×5×4×3；再求只有兩個獲獎的情況有：

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

•

C

2 4

C

2 2

=6×6×6；從而利用對立事件求解概率；
（2）由題意X的可能取值為0，20，70，100，40，90，120，170；分別求概率，從而列分布列并求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）每人2張總可能情況有：

C

2 8

•

C

2 6

•

C

2 4

•

C

2 2

=7×6×5×4×3；
只有兩個獲獎的情況有：

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

•

C

2 4

C

2 2

=6×6×6；
故至少有3人獲獎的概率為1-

6×6×6

7×6×5×4×3

=

32

35

；
（2）由題意X的可能取值為0，20，70，100，40，90，120，170；
P（X=0）=

C 2 4 • C 2 6 • C 2 4 • C 2 2

7×6×5×4×3

=

3

14

；
同理，P（X=20）=

2

7

，P（X=70）=P（X=100）=

1

7

；P（X=40）=P（X=170）=

1

28

；
P（X=90）=P（X=120）=

1

14

；
故X的分布列為

X	0	20	70	100	40	90	120	170
P	3 14	2 7	1 7	1 7	1 28	1 14	1 14	1 28

故數(shù)學(xué)期望為EX=0×

3

14

+20×

2

7

+70×

1

7

+100×

1

7

+40×

1

28

+90×

1

14

+120×

1

14

+170×

1

28

=52.5．

點評：本題考查了概率的求法及分布列的列法及數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．