Question

（2013•成都模擬）在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）設(shè)平面PAB∩平面PCD=m，求證：CD∥m；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q為線段PB上一點(diǎn)，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為

3

3

，求

PQ

PB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論；
（Ⅱ）利用已知條件先證明BD⊥AC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過(guò)結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與斜線所成的角即可找出Q點(diǎn)的位置．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BM∥PA，并且取BM=PA，連接PM，CM．
∴四邊形PABM為平行四邊形，∴PM∥AB，
∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM為平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．
（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得
BD=

42+(2 2 )2

=2

6

，AC=

22+(2 2 )2

=2

3

．
∵AB∥DC，∴

OD

OB

=

OC

OA

=

2

4

=

1

2

，
∴OD=

1

3

BD=

2 6

3

，OC=

1

3

AC=

2 3

3

．
∴OD²+OC²=(

2 6

3

)2+(

2 3

3

)2=4=CD²，
∴OC⊥OD，即BD⊥AC；
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），
B（4，0，0），D（0，2

2

，0），C（2，2

2

，0），P（0，0，4）．
∴

PB

=(4，0，-4)，
設(shè)

PQ

=λ

PB

，則Q（4λ，0，4-4λ），∴

QC

=(2-4λ，2

2

，4λ-4)．

BD

=(-4，2

2

，0)，由（2）可知

BD

為平面PAC的法向量．
∴cos＜

BD

，

QC

＞=

BD • QC

| BD | | QC |

=

16λ

2 6 (2-4λ)2+(2 2 )2+(4λ-4)2

，
∵直線QC與平面PAC所成角的正弦值為

3

3

，
∴

3

3

=

|16λ|

2 6 (2-4λ)2+8+(4λ-4)2

，
化為12λ=7，解得λ=

7

12

．
∴

PQ

PB

=

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、平行線的傳遞性、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理及法向量與斜線所成的角是解題的關(guān)鍵．