Question

14．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）點P是線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE成銳角二面角為θ，試求θ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AD⊥BD，DE⊥DB，從而DE⊥平面ABCD，進而DE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）分別以直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出θ的最小值．

解答 證明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3．…（2分）
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD．
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE?平面BEFD，DE⊥DB，
∴DE⊥平面ABCD，…（4分）
∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分別以直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的，如圖所示的空間直角坐標系，
令EP=λ （0≤λ≤$\sqrt{3}$），則D（0，0，0），A（1，0，0），$B（{0，\sqrt{3}，0}）$，P（0，λ，1），
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BP}=（0，λ-\sqrt{3}，1）$，…（8分）設$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$為平面PAB的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}y=0\\（λ-\sqrt{3}）y+z=0\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}-λ）$，
…（10分）
∵$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，0}）$是平面ADE的一個法向量，
∴$cosθ=\frac{{\left|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{n_1}}\right|\left|{\overrightarrow{n_2}}\right|}}=\frac{1}{{\sqrt{3+1+{{（{\sqrt{3}-λ}）}^2}}×1}}=\frac{1}{{\sqrt{{{（{λ-\sqrt{3}}）}^2}+4}}}$．
∵0≤λ≤$\sqrt{3}$，∴當λ=$\sqrt{3}$時，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$．
∴θ的最小值為$\frac{π}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查角的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．