Question

5．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，BC，AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，
（1）若$\frac{EC}{EB}=\frac{1}{4}，\frac{ED}{EA}=\frac{1}{2}，求\frac{DC}{AB}$的值；
（2）若EF²=FA•FB，證明：EF∥CD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出△EDC∽△EBA，由此能求出$\frac{DC}{AB}$的值．
（2）推導(dǎo)出△FAE∽△FEB，從而∠FEA=∠EBF，再由四點(diǎn)共圓，能證明EF∥CD．

解答 解：（1）∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△EBA，∴$\frac{ED}{EB}=\frac{EC}{EA}=\frac{DC}{AB}$，
$\frac{ED}{EB}•\frac{EC}{EA}$=$（\frac{DC}{AB}）^{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
證明：（2）∵EF²=FA•FB，∴$\frac{EF}{FA}=\frac{FB}{EF}$，
∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，
∴∠FEA=∠EBF，
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段比值的求法，考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)的合理運(yùn)用．