Question

20．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率分別為e₁，e₂，且e₁+e₂=$\sqrt{3}$，則e₁e₂=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，由此利用e₁+e₂=$\sqrt{3}$，能求出e₁e₂的值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率分別為e₁，e₂，
∴e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
∵e₁+e₂=$\sqrt{3}$，
∴${{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}+2{e}_{1}{e}_{2}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$+2e₁e₂=2+2e₁e₂=3，
∴e₁e₂=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、雙曲線性質的合理運用．