Question

復(fù)數(shù)z=(

1

2

-

3

2

i)2是一元二次方程ax²+bx+1=0（a，b∈R）的根，
（1）求a和b的值；      （2）若(a+bi)

.

u

+u=z（u∈C），求u．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的表示形式，寫出復(fù)數(shù)的最簡形式，根據(jù)復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)方程的解，得到方程的另一個(gè)解，根據(jù)韋達(dá)定理得到要求的a，b的值．
（2）設(shè)出復(fù)數(shù)u的表示式，根據(jù)所給的等式，整理成最簡形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得到關(guān)于u的實(shí)部和虛部的關(guān)系式，解方程組即可．

解答：解：（1）∵復(fù)數(shù)z=(

1

2

-

3

2

i)2
∴Z=-

1

2

-

3

2

i，
因?yàn)榉匠蘟x²+bx+1=0（a．b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程，
所以它的另一個(gè)根為-

1

2

+

3

2

i
由韋達(dá)定理知：

(- 1 2 - 3 2 i)+(- 1 2 + 3 2 i)=- b a (- 1 2 - 3 2 i)(- 1 2 + 3 2 i)= 1 a

?

a=1 b=1

（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，設(shè)u=x+yi（x，y∈R）
則：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，
得(2x+y)+xi=-

1

2

-

3

2

i

2x+y=- 1 2 x=- 3 2

?

x=- 3 2 y= 3 - 1 2

，
∴u=-

3

2

+

2 3 -1

2

i．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查實(shí)系數(shù)二次方程的根和系數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，易錯(cuò)點(diǎn)是根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．