Question

在直角坐標(biāo)系O-xyz中，

OA

=（0，1，0），

AB

=（1，0，0），

OC

=（2，0，0），

OS

=（0，0，1）．
（1）求

SC

與

OB

的夾角α的大��；
（2）設(shè)n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；
（3）求OA與平面SBC的夾角；
（4）求點(diǎn)O到平面SBC的距離；
（5）求異面直線SC與OB間的距離．

Answer 1

分析：（1）：利用向量的幾何意義a•b=|a||b|cosα變形可求出α；
（2）：n⊥平面SBC，n就垂直于平面內(nèi)所有直線，則n⊥

SC

且n⊥

BC

，垂直就點(diǎn)積為零從而就求出p和q得出n；
（3）：OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，故可先求

OA

與n所成的角，利用a•b=|a||b|cosα求出α，再用

π

2

-α；
（4）：點(diǎn)O到平面SBC的距離即為

OC

在n上的投影的絕對值故求出d即可；
（5）：

OC

在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對值即為兩條異面直線間的距離，故先求與SC、OB均垂直的向量m．則m⊥

SC

且m⊥

OB

，用點(diǎn)積為零求出m，最后異面直線SC與OB間的距離為

OC

在m上的投影的絕對值故求出d′即可．

解答：解：（1）如圖，

SC

=

OC

-

OS

=（2，0，-1），

OB

=

OA

+

AB

=（1，1，0），
則|

SC

|=

22+02+(-1)2

=

5

，|

OB

|=

12+12+02

=

2

．
cosα=cos＜

SC

，

OB

＞=

SC • OB

| SC || OB |

=

2+0+0

5 • 2

=

10

5

，α=arccos

10

5

．

（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥

SC

且n⊥

BC

，
即

n• SC =0 n• BC =0

∵

SC

=（2，0，-1），

BC

=

OC

-

OB

=（1，-1，0），
∴

2-q=0 1-p=0

，∴

p=1 q=2

即n=（1，1，2）．

（3）OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，
故可先求

OA

與n所成的角.

OA

=（0，1，0），
|

OA

|=1，|n|=

12+12+22

=

6

．
∴cos＜

OA

，n＞=

OA •n

| OA ||n|

=

1

1• 6

=

6

6

，
即＜

OA

，n＞=arccos

6

6

．∴θ=

π

2

-arccos

6

6

．

（4）點(diǎn)O到平面SBC的距離即為

OC

在n上的投影的絕對值，
∴d=|

OC

•

n

|n|

|=

2

6

=

6

3

．
（5）

OC

在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對值即為兩條異面直線間的距離，
故先求與SC、OB均垂直的向量m．
設(shè)m=（x，y，1），m⊥

SC

且m⊥

OB

，
則m•

SC

=0，且m•

OB

=0．
∴

2x-1=0 x+y=0

即

x= 1 2 y=- 1 2

∴m=（

1

2

，-

1

2

，1），d′=|

OC

•

m

|m|

|=

2

6

=

6

3

．

點(diǎn)評：此題是一道綜合性題，考查知識比較全面．向量的幾何意義a•b=|a||b|cosα；向量垂直?a•b=0；向量在異面直線公垂線方向上的投影的絕對值即為兩條異面直線間的距離．