【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn+2=2an(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=log2an , 數(shù)列{}的前n項和為Tn , 證明:Tn<1.

【答案】解:(I)由Sn+2=2an ,
當n=1時,a1+2=2a1 , 解得a1=2;
當n≥2時,Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1 , 即an=2an﹣1 ,
所以數(shù)列{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
數(shù)列{an}的通項公式為an=2×2n﹣1=2n
(Ⅱ)證明:由(I)得bn=log22n=n,
所以Tn=+++…+
=+++…+
=+++…+
=1﹣<1.
【解析】(I)求得數(shù)列的首項,將n換為n﹣1,相減可得an=2an﹣1 , 運用等比數(shù)列的通項公式即可得到所求;
(Ⅱ)求得bn=log2an=n,= , 再由數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,以及不等式的性質,即可得證。

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