【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，△PAC為等腰直角三角形，為正三角形，D為A的中點(diǎn)，AC=2．

(1)證明：PB⊥AC；

(2)若三棱錐的體積為，求二面角A—PC—B的余弦值

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）

【解析】

（1）由題意證得，，從而有平面，則；

（2）設(shè)三棱錐的高為，，根據(jù)體積公式求得，從而平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)公式可得二面角的余弦值為．

（1）證：為等腰直角三角形，為中點(diǎn)，，

又為正三角形，為中點(diǎn)，，

又，平面，

平面PBD，又平面，

（2）解：設(shè)三棱錐的高為，

，

，

，又平面ABC，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，

令，得，，

又是平面的一個(gè)法向量，∴，

由圖可知二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大學(xué)進(jìn)行自主招生測(cè)試，需要對(duì)邏輯思維和閱讀表達(dá)進(jìn)行能力測(cè)試.學(xué)校對(duì)參加測(cè)試的200名學(xué)生的邏輯思維成績(jī)、閱讀表達(dá)成績(jī)以及這兩項(xiàng)的總成績(jī)進(jìn)行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示，下列敘述正確的是（ ）

A.甲同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名更靠前

B.乙同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名更靠前

C.甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名中，甲同學(xué)更靠前

D.甲同學(xué)的總成績(jī)排名比丙同學(xué)的總成績(jī)排名更靠前

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點(diǎn)，且.

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司進(jìn)行共享單車(chē)的投放與損耗統(tǒng)計(jì)，到去年年底單車(chē)的市場(chǎng)保有量（已投入市場(chǎng)且能正常使用的單車(chē)數(shù)量）為輛，預(yù)計(jì)今后每年新增單車(chē)1000輛，隨著單車(chē)的頻繁使用，估計(jì)每年將有200輛車(chē)的損耗，并且今后若干年內(nèi)，年平均損耗在上一年損耗基礎(chǔ)上增加％.

（1）預(yù)計(jì)年底單車(chē)的市場(chǎng)保有量是多少？

（2）到哪一年底，市場(chǎng)的單車(chē)保有量達(dá)到最多？該年的單車(chē)保有量是多少輛（最后結(jié)果精確到整數(shù)）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中m是不等于零的常數(shù).

（1）時(shí)，直接寫(xiě)出的值域；

（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）已知函數(shù)，，定義：，，，，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.例如：，，則，，，.當(dāng)時(shí)，恒成立，求n的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱(chēng)為函數(shù)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

（1）若、且，證明：函數(shù)必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱(chēng)為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義．如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于－種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形．

若在圖④中隨機(jī)選�。c(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；

（2）射線：與曲線，分別交于點(diǎn)，（且點(diǎn)，均異于原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求的最小值.

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