【題目】如圖,在四棱錐中,為直角梯形,,,平面平面是以為斜邊的等腰直角三角形,,上一點,且.

1)證明:直線平面;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析 2

【解析】

1)連接于點,連接,利用相似證得,進而得證;

2)以為坐標原點,所在的方向分別為軸、軸的正方向,與均垂直的方向作為軸的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可

解:(1)連接于點,連接,

因為,所以相似,

所以,

,所以,

因為平面,平面,

所以直線平面

2)由題,因為平面平面,平面平面,平面,,所以平面,

為坐標原點,所在的方向分別為軸、軸的正方向,與均垂直的方向作為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為,,

,,,,

所以,,,

設(shè)平面的一個法向量為,則

,即,

,得,,于是,

設(shè)平面的一個法向量為,則

,即,

,得,,于是,

設(shè)二面角的平面角的大小為,則,

所以二面角的余弦值為

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上的反函數(shù);

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