【題目】如圖所示,拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點為F,C上的一點M(4,m)滿足|MF|=4.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點E(﹣1,0)作不經(jīng)過原點的兩條直線EA,EB分別與拋物線C和圓F:x2+(y﹣2)2=4相切于點A,B,試判斷直線AB是否經(jīng)過焦點F.
【答案】
(1)解:拋物線C的準(zhǔn)線方程為 ,
∴|MF|=m+ =4,
由M(4,m)在橢圓上,
∴16=2pm,
∴p2﹣8p+16=0,解得p=4,
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y
(2)解:設(shè)EA:x=ky﹣1,聯(lián)立 ,消去x得:k2y2﹣(2k+8)y+1=0,
∵EA與C相切,
∴△=(2k+8)2﹣4k2=0,解得k=﹣2,
∴ ,求得 ,
設(shè)EB:x=ty﹣1,聯(lián)立 ,消去x得:(t2+1)y2﹣(2t+4)y+1=0,
∵EB與圓F相切,
∴△=(2t+4)2﹣4(t2+1)=0,即 ,
∴ ,求得 ,
∴直線AB的斜率 ,
可得直線AB的方程為 ,經(jīng)過焦點F(0,2)
【解析】1、利用拋物線的定義可得m+ =4,點M(4,m)在橢圓上,所以16=2pm,即可求出p=4,進(jìn)而得到拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y。
2、首先聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)題意令△=0,求得k=﹣2,即得點A的坐標(biāo);同理可得點B的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線AB的斜率 k AB的值,從而求出直線的方程,并可判斷其經(jīng)過焦點F(0,2)。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓Γ: =1(a>b>0)的右焦點為(2 ,0),且橢圓Γ上一點M到其兩焦點F1 , F2的距離之和為4 .
(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點A,B,且|AB|=3 .若點P(x0 , 2)滿足| |=| |,求x0的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為等邊三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點.
(1)求證:直線AB1∥平面BC1D;
(2)求證:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求三棱錐C﹣BC1D的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.一條直線與一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行
B.平行于同一個平面的兩條直線平行
C.與兩個相交平面的交線平行的直線,必平行于這兩個平面
D.平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行,則另一條也與這個平面平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求證:平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E , F分別是AA1 , CC1的中點,求證:平面EB1D1∥平面FBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法,其中不正確的是( )
A.棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形
B.棱錐的側(cè)面只能是三角形
C.由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐
D.棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)在 上的最大值與最小值;
(2)已知 ,x0∈( , ),求cos4x0的值.
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